Formado en las categorías inferiores del NK Solin y del Hajduk Split, con quien llegó al primer equipo y conquistó la Copa de Croacia en 2022, Biuk salió de su país en enero de 2023 para firmar por Los Ángeles FC. Con el equipo estadounidense fue subcampeón de la MLS y de la Campeones Cup, antes de llegar a Zorrilla en enero de 2024 en calidad de cedido. Unos meses más tarde, el Real Valladolid se hizo con sus derechos federativos hasta 2029.

Categorías inferiores del Hajduk Split

2021-23: Hajduk Split

2023: Los Ángeles FC

2023-actualidad: Real Valladolid